Faça a massa. Em uma tigela grande, misture as farinhas e o sal. Adicione a manteiga gelada e cortada em cubinhos. Amassa com as mãos, apertando bem a manteiga entre os dedos, até a massa ficar com uma cara esfarelada, como uma farofa. Adicione as gemas levemente batidas e misture com as mãos. Vá adicionando uma colher de água gelada por vez, misturando a massa à cada colherada. Adicione água só até a massa ficar bem unida e você conseguir reunir ela em uma bola sem esfarelar. Para mim 3 colheres de sopa de água foram suficientes. Talvez você precise de menos ou de mais. Embrulhe em plástico filme e deixe descansar em temperatura ambiente enquanto prepara o recheio.
Pré-aqueça o forno a 200ºC. Corte a beringela e a abobrinha em cubos. Descasque a cebola e corte-a em 8 pedaços. Descasque e fatie grosseiramente os dentes de alho. Em uma assadeira grande misture os vegetais com o sal, um pouco de pimenta do reino, as folhas dos tomilho e o azeite. Misture tudo, espalhe e leve ao forno por 30 a 45min, até que os tomates tenham começado a enrugar, mas a abobrinha ainda não esteja muito murcha, eles vão terminar de cozinhar depois. Retire do forno e deixe esfriar enquanto abre a massa. Não desligue o forno.
Em uma superfície lisa espalhe umas colheradas de farinha de trigo. Abra a massa usando um rolo de massa ou uma garrafa de vinho, até ela ficar com meio centímetro de espessura, e mais ou menos uns 40cm de diâmetro. Não tem problema se as bordas não ficarem bonitas ou se ela rachar um pouco enquanto você a abra.
Separe uma assadeira grande e forre com papel manteiga. Transfira a massa para o papel. Para mim, a maneira mais fácil de fazer isso é enrolar a massa no rolo, bem soltinha, e transferir para a assadeira, sempre funciona para mim. Espalhe os vegetais assados no centro da massa. Esfarele o queijo por cima deles. Agora, com cuidado, feche a galette, da maneira que achar melhor. Tudo bem se ela rachar um pouco, vá fechando apertando um pedaço por cima do outro, até formar a galette. Bata o ovo ligeiramente com um garfo e pincele sobre toda a superfície da massa (mas não nos legumes). Leve ao forno a 200ºC e asse até que ela esteja dourada, de 45min a 1 hora. Retire do forno e espere esfriar um pouco para servir, ou deixe esfriar completamente e sirva em temperatura ambiente.